Tables des matières

A. Notions de Base et Calculs élémentaires
1° Principe de la règle à calculer
2° Echelles de base: lecture et réglage
3° Représentation schématique de la règle
4° La multiplication
5° La division
6° Multiplication et division combinées
7° Rapports et proportions
8° L'Echelle des inverses CI
9° Echelles de base décalées CF,DF
10° Elévation au carrée / Extraction de la racine carrée
11° Elévation au cube / Extraction de la racine cubique
12° Echelles de mantisses L

1. Principe de la règle à calculer

Pour mesurer la longueur d'un segment de droite nous utilisons normalement une règle graduée soit en cm, soit en mm. Si nous disposons de 2 règles identiques nous pouvons également nous en servir pour faire des additions et des soustractions. On admettra que chaque trait de la graduation en mm correspond à un nombre.

Pour effectuer l'addition: 34 + 48 = 82

nous disposons les 2 règles l'une contre l'autre comme l'indique la figure 2. Nous plaçons le trait 0 de la règle C au-dessus du trait 34 de la règle D. Le trait 48 de la règle C se trouve alors placé en face du trait 82 de la règle D. 82 représente la somme cherchée. Les flèches rouges de la figure 2 indiquent comment effectuer cette opération. [Note: La documentation originale a été imprimée en noir et blanc.] Nous venons ainsi de faire une addition en utilisant deux règles à graduation linéaire normale (ce qui veut dire que la distance entre deux divisions successives est la même en tout point de la règle).

Pour effectuer la soustraction nous faisons une opération analogue en retranchant un des segments de l'autre. Maintenons les 2 règles dans la position qu'elles occupaient dans l'exemple précèdent et essayons de faire la différence:
    82 - 48 = 34
Le trait 48 de la règle C est placé au-dessus du trait 82 de la règle D. Nous remarquons que le trait 0 de la règle C est placé au-dessus du trait 34 de la règle D. 34 est la différence recherchée.

C'est d'une façon analogue que fonctionne la règle à calculer. On remarquera que les graduations de la règle ne sont plus équidistantes, mais disposées d'une manière particulière en se resserrant de plus en plus vers la droite en général: c'est une graduation logarithmique. Du fait de l'utilisation de cette échelle dite logarithmique les additions de longueurs ne donnent plus comme résultat leur somme, mais leur produit.

De même la soustraction de deux longueurs ne donne plus leur différence, mais leur quotient.

La figure 3 montre la disposition des échelles de la règle à calculer pour effectuer la multiplication
    2 · 3 = 6
Les flèches rouges indiquent la suite des opérations

Cette même disposition des échelles permet également d'effectuer la division
    6 · 3 = 2
En utilisant la règle à calculer pour multiplier ou pour diviser on est amené à faire une addition ou une soustraction de segments qui représentent des nombres. Pour être correct il faut préciser que les segments représentent non pas les nombres, mais les logarithmes de ces nombres inscrits sur la règle. C'est ainsi que la longueur du segment compris entre les chiffres 1 et 3 de l'échelle C représente le logarithme du nombre 3 qui est inscrit au-dessus de l'extrémité de droite du segment considéré. On additionne ou on retranche ainsi les logarithmes des nombres considérés ce qui se traduira par une multiplication ou une division.

Le chapitre A 12 «Echelle des Mantisses» explique ce que sont les logarithmes.

Bien que les longueurs reportées sur la règle soient les logarithmes des nombres inscrits, la compréhension de la notion de logarithme n'est pas nécessaire pour pouvoir se servir correctement de la règle. Le fait que la longueur du segment entre les chiffres 1 et 3 de l'échelle C par exemple, représente le logarithme de 3 nous importe peu. Nous ne retenons que le chiffre 3 qui seul nous intéresse.

En ce qui concerne la manipulation de la règle il importe de savoir que:

1° La règle doit être tenue comme l'indique la figure 4.
2° Il ne faut pas presser les 2 parties du corps de la règle l'une contre l'autre car cela freinerait la réglette mobile.
3° On déplace la réglette en la serrant entre le pouce et l'index et en prenant appui contre le corps de la règle - on peut ainsi déplacer la réglette avec précision.

Pour calculer rapidement et sans faute avec la règle il importe de bien connaître les échelles et leurs graduations dans les différents intervalles. Celles qui sont le plus souvent utilisées sont les échelles C et D. La figure 6 représente l'échelle de base C ou D avec les nombres et intervalles les plus importants.

On remarque 3 parties
1° Intervalle allant du nombre 1 au nombre 2
2° Intervalle allant du nombre 2 au nombre 4
3° Intervalle allant du nombre 4 au nombre 10

Chaque partie est subdivisée différemment mais à l'intérieur de chaque intervalle le mode de division est le même.

La distance entre les traits 1 et 10 d'une échelle représente la Base de l'échelle. - Elle est de 25 cm pour les échelles C et D.

Faisons encore une remarque importante avant de nous familiariser avec la lecture des échelles.

On ne tient nullement compte de la virgule ni de sa position dans un nombre. - On ne s'occupe que des chiffres quelque soit la position de la virgule. La règle à calcul ne nous donne que la suite des chiffres d'un nombre, mais jamais sa valeur qui varie selon l'emplacement de la virgule. - C'est ainsi que le chiffre 2 de la règle peut représenter 2 ou 20; 200; 2000; 0,2; 0,02; 0,002 etc....

L'échelle graduée de 1 à 10 peut ainsi servir à représenter tous les nombres. C'est pour cette raison qu'il faut apprendre à lire et à prononcer les nombres sans s'occuper de la virgule comme l'indiquent les exemples suivants:

 C'est ainsi qu'on évitera les fautes et qu'on pourra rapidement lire les chiffres et régler et déplacer curseur ou réglette mobile.

Dans la figure 6 on remarque qu'il y a 3 intervalles importants sur l'échelle de base: de 1 à 2,de 2 à 4,de 4 à 10.

Le 1^er intervalle allant de 1 à 2 est subdivisé en 10 parties par des traits assez longs portant à leur extrémité supérieure l'inscription 1,1 ... 1,2... 1,3. . . 1,9.

Chacune des divisions obtenues est encore une fois subdivisée en 10 intervalles par des traits plus courts. Le trait repérant le milieu des intervalles précédents (de 1,2 à 1,3 par exemple) est légèrement plus long. Dans notre exemple il s'agit du trait repérant le nombre 1,25. En raison du manque de place il a été impossible de graver les nombres correspondant à ces traits sur la règle. La graduation de ce premier intervalle est comparable à celle d'une règle ordinaire graduée en mm. Pour pouvoir nous familiariser avec ces divisions et subdivisions on a représenté par la Fig. 7 le 1^er intervalle allant de 1 à 2. La subdivision allant de 1 à 1,1 a été agrandie et on a inscrit au-dessus des traits qui la divisent encore une fois en 10 parties les nombres correspondants; mais attention: ces nombres ne figurent pas sur la règle à calculer en raison du manque de place car ces traits sont trop resserrés. Un nombre formé de 3 chiffres peut donc être représenté exactement par un trait dans cet intervalle allant de 1 à 2. S'il y a par contre un 4^e chiffre il faut repérer par évaluation son emplacement entre 2 traits consécutifs.

La précision de la division et la finesse des traits permettent ainsi de repérer le milieu entre 2 traits consécutifs: il correspond au chiffre 5 qui sera ici le 4ème chiffre d'un nombre. Il est trop difficile d'apprécier le 1/10 de cet intervalle entre 2 traits consécutifs; par contre il est relativement aisé d'apprécier le 1/5 de cet intervalle et nous pouvons nous l'imaginer divisé en 5 parties égales. Ces traits imaginaires correspondent à un 4^e chiffre, valent 2, 4, 6, 8. La figure 7 représentée ci-après donne 6 exemples de lecture Exemples: 1-0-3-5; 1-3-5-2; 1-7-0-4; 1-8-9-8; 1 -0-6-6.

Le 2ème intervalle allant de 2 à 4 est divisé autrement. Les traits un peu plus longs que les autres et qui ne sont pas surmontés de chiffres, correspondent aux nombres 2,1 - 2,2 - 2,3... 3,9. Les traits représentant les nombres 2,5 et 3,5 sont un peu plus longs. Chaque intervalle ainsi formé (de 2,2 à 2,3 ou de 3,8 à 3,9 par ex.) a été divisé en 5 parties seulement par manque de place. Ce mode de division permet ainsi le repérage exact d'un nombre par un trait de division lorsque son 3e chiffre est un chiffre pair.

C'est ainsi le cas pour les nombres 202, 204, 236 etc.... Si le 3e chiffre est un nombre impair son emplacement sera repéré au milieu entre 2 traits consécutifs. On peut à la rigueur encore apprécier comme 4e chiffre, le chiffre 5. Pour cela nous nous imaginons que l'intervalle entre 2 traits consécutifs est divisé en 4 parties égales.

La figure 8 nous donne quelques exemples
Exemples: 2-0-7-5; 2-6-8-5; 3-0-4; 3-7-7-5; 2-0-1-5; 2-1-5-5

Le 3e intervalle allant de 4 à 10 est divisé encore autrement. Nous avons d'abord représenté les chiffres 5, 6, 7, 8, 9 en divisant cet intervalle en 6 parties. Chaque nouvel intervalle obtenu - (de 5 à 6 ou de 8 à 9 par exemple) a été divisé par des traits un peu plus courts en l0 parties. Chaque nouvelle partie ou intervalle obtenue a été divisée par un trait de longueur encore plus réduite en 2 parties. En raison de ce mode de division nous pouvons représenter par un trait tout nombre de 3 chiffres à condition que le 3e chiffre (le plus à droite) soit un 0 ou un 5. Si ce 3^e chiffre est par contre 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 son emplacement sur la règle peut être repéré par évaluation.

La Figure 9 donne quelques exemples
Exemples: 4-1-6; 5-5-5; 6-8-2; 8-0-2; 9-9-5; 4-2-1; 4-4-9

Exercez vous très longuement à repérer et lire les nombres sur la règle. Ce n'est qu'à cette condition qu'on pourra calculer rapidement et sans fautes. Utilisez pour la lecture ou le repérage le trait médian très fin du curseur ou bien placez le trait 1 de la réglette mobile au-dessus d'un nombre quelconque de l'échelle D de la règle. On fera la lecture sur cette échelle D.

On pourrait avoir l'impression que la précision dans la lecture ou le repérage des chiffres diminue vers la droite de la règle du fait que les traits sont ici de plus en plus rapprochés. Cela provient du fait que nous sommes habitués aux divisions linéaires ou aux règles à graduations équidistantes. Or ce n'est qu'une impression car en réalité le «pourcentage d'erreur» ou l'erreur relative qu'on peut faire est la même en tout point de l'échelle. Ce n'est pas l'erreur absolue qui importe dans les calculs mais uniquement cette erreur relative.

Nous utiliserons un schéma simple et clair pour représenter la règle et pour montrer comment effectuer les calculs. Les échelles sont représentées par des traits pleins de couleur noire si la valeur des nombres représentés sur l'échelle augmente en allant de gauche à droite. La couleur est rouge si l'échelle décroît en allant de gauche à droite. La réglette mobile ou coulissante est représentée par une bande en gris. Sur la règle cette réglette est de couleur verte.

Les lettres inscrites aux extrémités des échelles représentent:
   à gauche: les symboles internationaux
    à droite: les symboles mathématiques

Le trait vertical avec un petit trait gras horizontal à chaque extrémité représente le trait du milieu ou trait médian du curseur. Sur le curseur ce trait est de couleur noire. La flèche représentée à l'extrémité supérieure de ce trait vertical indique la direction dans laquelle il faut déplacer ce curseur pour effectuer les opérations. Le trait vertical surmonté du chiffre 1 représente la position primitive du curseur en début de calcul. Celui qui est surmonté du chiffre 2 représente la position du curseur en fin d'opération. Des flèches et des chiffres supplémentaires indiqueront la marche à suivre dans le cas d'opérations complexes. En général, pour expliquer les calculs, on ne représentera schématiquement que les échelles qui sont nécessaires pour effectuer les calculs en faisant abstraction des autres. En les représentant toutes, cela compliquerait le schéma. On gagne ainsi en clarté et on a un schéma simple.

    Pour désigner le chiffre 1 de l'échelle C nous écrirons C!.
    Pour désigner les chiffres 3-2 de l'échelle D nous écrirons D 3-2. Ainsi l'expression «placer C1 au-dessus de D 3-2» veut dire:
    Placer le chiffre 1 de l'échelle C au-dessus des chiffres 3-2 de l'échelle D.

Pour multiplier a par b nous ajoutons au segment représentant le facteur a, le segment représentant le facteur b. Le résultat sera lu au bout du segment représentant b. On effectuera les calculs en utilisant les échelles de base C et D. La figure 11 nous montre 2 exemples. Dans les 2 exemples la réglette coulissante a la même position vu qu'on multiplie le même nombre 2,36.

Exemple: 2,36 · 19,7 = 46,5        2,36 · 3,6 = 8,5

Suite des opérations à effectuer:

1^er exemple:
Placer C 1 (en utilisant éventuellement le trait médian noir du curseur) au-dessus de D 2-3-6. Placer le trait médian du curseur sur C 1-9-7. Ce trait est alors aussi placé au-dessus de D 4-6-5. 4-6-5 est le résultat de la multiplication.
2^e exemple:
Placer le trait médian du curseur au-dessus de D 2-3-6. Placer C 1 au-dessus du trait médian du curseur: de ce fait C 1 est placé au-dessus de D 236. Placer ensuite le trait médian du curseur sur C 3-6 qui est alors placé au-dessus de D 8-5 qui est le produit recherché.

Comme nous l'avons déjà mentionné précédemment, la règle à calculer ne nous donne que les chiffres du produit dans l'ordre sans préciser l'emplacement de la virgule. Pour déterminer cet emplacement nous faisons un calcul mental rapide en arrondissant les 2 facteurs du produit.

Ainsi pour le premier exemple
    2,36 · 19,7        2 · 20=40

Le produit sera donc de cet ordre de grandeur. Nous avions trouvé 4-6-5. Le produit sera donc 46,5 et non 4,65 ou 465.

Le 2e exemple nous donne de même:
    2,36 · 3,6         2 · 4 = 8

Pour ces exemples simples ces calculs approchés peuvent paraître inutiles car nous connaissions déjà par habitude la valeur approximative du résultat. Pour d'autres exemples plus complexes que nous verrons plus tard, ces calculs avec les nombres arrondis à des nombres entiers simples sont indispensables. Nous vous conseillons de vous exercer d'abord avec des exemples simples afin de prendre l'habitude de ces calculs. Ceci vous permettra aussi, en dehors de l'emploi de la règle, d'évaluer rapidement l'ordre de grandeur d'un produit et vous donnera une grande sûreté.

Effectuons maintenant la multiplication 2,36 ·5. Plaçons C 1 au-dessus de D 236 et essayons de lire comme nous l'avons appris le résultat sous C 5. Or il n'y a aucun nombre sous C 5 car l'échelle D s'est arrêtée avant au nombre 1-0. Dans ce cas il faut alors procéder autrement: au lieu de placer C 1 au-dessus de D 2-3-6, nous plaçons C 10 au-dessus de D 2-3-6 en déplaçant la réglette mobile vers la gauche (elle dépassera à gauche de la règle). Nous pouvons alors lire sous C 5 le résultat c'est à dire 1-1-8.

Illustrons au moyen de la figure 12:
Exemples: 2,36 · 5 = 11,8             2,36 · 0,0805 = 0,19

Dans les 2 cas placer C 10 au-dessus de D 2-3-6 - lire la réponse sous C 5 c.-à-d. 1-1-8 pour le 1^er exemple. Pour le 2^e exemple nous lisons sous C 8-0-5 la réponse 1-9 sur l'échelle D.

Détermination de l'emplacement de la virgule.
1^er exemple: 2,36· 5 » 2 · 5 = 10                      Résultat 11,8
2^e exemple: 2,36· 0,0805  » 2.0,1 = 0,2         Résultat 0,19

Après avoir fait quelques multiplications et pris l'habitude on verra tout de suite si c'est C 1 ou C 10 qu'il faut placer au-dessus du nombre à multiplier.

Si on n'est pas encore très sûr, on peut utiliser pour le début la règle suivante:

Si le produit du 1^er chiffre de a par le 1^er chiffre de b est inférieur à 10, c'est C 1 qu'il faut placer au-dessus du nombre à multiplier. Dans ce cas la réglette coulissante sort du corps de la règle à droite.

Si par contre le produit du 1^er chiffre de a par le 1^er chiffre de b est supérieur à 10, c'est C 10 qu'il faut placer au-dessus du nombre à multiplier. La réglette coulissante dépasse alors à gauche.

Exemple: 2,36 · 0,0805
   a · b
1^er chiffre de a : 2
l ^er chiffre de b:8         2 · 8 = 16              16>10
16 étant supérieur à 10                             utiliser C 10

Pour effectuer les multiplications on peut aussi utiliser les échelles A et B qui sont graduées de 1 à 1000. Dans ce cas nous n'aurons pas la petite complication précédente de placer soit C 1 ou C 10. C'est toujours B 1 que nous utiliserons. Le multiplicande a sera repéré sur l'échelle A entre 1 et 10 et le multiplicateur b sur l'échelle le B également entre 1 et 10. Si on repérait entre 10 et 100 ce qui est possible on aurait les mêmes ennuis qu'avec les échelles C et D.

Il peut paraître, à première vue, que l'utilisation des échelles A et B est à recommander en raison de la simplification des opérations. Malheureusement la précision de lecture est moins grande car la base choisie n'est que de 12,5 cm tandis qu'elle était de 25 cm pour les échelles C et D. (Voir aussi le paragraphe 9).

On a donc tout de même intérêt à utiliser les échelles C et D pour les calculs usuels.

C'est ici l'opération inverse de la multiplication qui est à faire. Au lieu d'ajouter les longueurs portées sur la règle, nous les retranchons l'une de l'autre. Nous retranchons du segment représentant le dividende a, le segment représentant le diviseur b. La différence des 2 segments représentera le quotient.

La Figure 13 nous montre au moyen de 2 exemples comment procéder.

1^er exemple: 71,5 : 2,86 = 25
Placer le trait médian du curseur sur D 7-1-5. Glisser C 2-8-6 sous le trait médian du curseur de façon à ce que C 2-8-6 soit placé au-dessus de D 7-1-5. (avec l'habitude on pourra placer C 2-8-6 au-dessus de D 7-1-5 sans utiliser le curseur. Mais nous le déconseillons pour le début). Le quotient sera lu sous C 1 sur l'échelle D c.-à-d. 2-5. Pour faciliter la lecture on peut placer le trait médian du curseur au-dessus de C 1.

Détermination de la virgule:
    71,5 : 2,86 75 : 3 = 25

2^e exemple: 85 : 34 = 2,5
Placer C 304 au-dessus de D 8-5. Lire le quotient sous C 1. On remarquera que la position de la réglette mobile est la même que pour l'exemple précédent. C'est aussi cette position qu'aurait la réglette ai on voulait effectuer la multiplication 25 · 2,86.

Dans les 2 exemples précédents les quotients ont été lus sous C 1 et la réglette mobile dépassait à droite. Il arrive que pour certaines divisions la réglette dépasse à gauche. Dans ce cas le quotient se trouve sous C 10.

Dans le cas de la multiplication il fallait déterminer à l'avance si c'était C 1 ou C 10 qu'il fallait placer au-dessus du multiplicande b. Ce n'est pas le cas ici. On dispose les deux nombres l'un au-dessus de l'autre (il n'y a qu'une position possible): diviseur sur l'échelle C, dividende sur l'échelle D. Si la réglette dépasse à droite on lira sous C 1, si elle dépasse à gauche on lira sous C 10.

Exemples: 1,075:1,72 = 0,625                 230 : 36,8 = 6,25

Détermination de l'emplacement de la virgule
1,075: 1,72    »     1: 2=0,5
230:36,8     »    200:40=5

Les divisions peuvent également être effectuées sur les échelles A et B. Le dividende sera choisi sur l'échelle A et le diviseur sur l'échelle B. Le quotient se lira sous B 1, B 10 ou B 100.

Comme nous l'avons déjà expliqué pour la multiplication, la précision de lecture, donc l'erreur relative, est ici moins bonne. Nous conseillons donc aussi d'utiliser les échelles C et D.

Si nous devons effectuer une opération de la forme par a · b /c nous divisons d'abord a par c et multiplions ensuite le quotient par b.
Exemple: 400 · 2 / 18 = 50

Opérations à faire:
Placer C 1-8 au-dessus de D 4-5. Le résultat de cette division se trouve sous C 1 mais nous ne le notons pas. Nous plaçons le trait médian du curseur sur C 2. C 2
est placé au-dessus de D₅. Le résultat est de 5.

Détermination de l'emplacement de la virgule: 450 · 2 / 18 = 50 · 1 / 1 = 50

Si le numérateur et le dénominateur de la fraction sont formés par plusieurs facteurs le principe reste le même.

La fraction (a · b · c · d) / (e · f · g) s'effectue d'après le schéma suivant:

Les résultats intermédiaires n'ont pas d'intérêt pour nous et ne seront pas retenus.

Exemple: (3,8 · 6,27 · 9,35) / (7,2 · 0,37) = 83,6

Placer C 7-2 au-dessus de D 3-8 (Résultat sous C 10). Déplacer le trait médian du curseur sur C 6-2-7. En ne bougeant pas ce curseur placer C 3-7 sous le trait médian. Déplacer le curseur et placer le trait médian sur C 9-3-5. Le résultat final se lit sur l'échelle D sous C 935 c.à.d 8-3-6.

Détermination de l'emplacement de la virgule
(3,8 · 6,27 · 9,35) / (7,2 · 0,37) = (4 · 6 · 10) / (8 · 0,5) = 60
Résultat 83,6 et non 8,36 ou 836 ou 0,836 ou 8360 etc....

Donnons à la réglette mobile une position quelconque. Pour cette position donnée au-dessus de chaque nombre de D nous trouvons un nombre correspondant sur C. Si nous divisions un nombre quelconque de D par le nombre correspondant de C, nous trouvons toujours le même quotient. Nous pouvons ainsi former un nombre infini de rapports égaux entre eux.

Si a, c, e sont des nombres de D et b, d, f les nombres correspondants de C, on aura a/b = c/d = e/f

Plaçons par exemple C 1 au-dessus de D 1-5. Dans ce cas tout nombre de D est 1,5 fois plus grand que le nombre correspondant de C ou bien tout nombre de C est 1,5 fois plus petit que le nombre correspondant de D. Le rapport d'un nombre choisi sur D à un nombre correspondant choisi sur C est de 1,5. On peut aussi dire que le quotient d'un nombre choisi sur D par le nombre correspondant choisi sur C est de 1,5 ou de 15 ou 150 etc. . . . Il est bien entendu que nous désignons ici par nombres correspondants, les nombres de C et D disposés l'un au-dessus de l'autre.

On peut aussi dire qu'un nombre choisi sur C forme le numérateur d'une fraction dont le dénominateur est le nombre correspondant de D. La ligne qui sépare l'échelle C de D représente ici le trait de fraction. Toutes ces fractions ainsi formées sont égales entre elles. On pourrait aussi choisir le numérateur sur D et le dénominateur sur C.

L'exemple qui suit montre une application pratique: la conversion du système métrique exprimé en mm en pouces (unité anglo-américaine).

Exemple: 1 pouce = 25,4 mm
    940 mm = 32 pouces
    2,5 pouces = 61 mm

Méthode:
    Placer C 1 au-dessus de D 2-5-4
    L'échelle C représente les pouces
    L'échelle D représente les mm
    Sous C 24 pouces nous lisons D 61 mm
    Sous D 9-4 mm nous lisons C 37 pouces

On peut ainsi soit convertir des pouces en mm ou inversement des mm en pouces. La réglette mobile garde dans les 2 cas la même position.

On peut aussi déterminer par exemple la quatrième proportionnelle x dans l'expression a/b = c/x très simplement.
Exemple: 4/2 = 6/x             x =  3

Méthode: Placer C 2 au-dessus de D 4. Au-dessus de D 6 nous lisons C 3. 3 est la valeur de x.

Autre exemple: Echelle d'une carte 1 :12500
Soit une longueur de 2,36 cm mesurée sur la carte. Quelle est la distance dans la nature?
Nous écrivons 1/ 12 500 = 2,36/ x          x = 29500 cm = 295 m

Méthode comme dans l'exemple précédent.

Le mode de division de l'échelle CI (C inverse) correspond à celle des échelles de base C et D. Mais elle est disposée à l'envers, le 10 étant à gauche, le 1 étant à droite. Les valeurs augmentent quand on va de droite à gauche. Cette échelle se trouve sur la réglette mobile. Elle est représentée en rouge dans les schémas. Son utilisation est souvent avantageuse et simplifie certains calculs.

a) Inverse d'un nombre

A chaque nombre a de C correspond un inverse à lire sur l'échelle CI. De même à chaque nombre a de CI correspond un inverse à lire sur l'échelle C. Pour déterminer l'inverse d'un nombre il est recommandé pour éviter les erreurs de lecture, de faire coïncider les échelles D et D c.-à-d. de placer C1 au-dessus de D 1. Pour faire correspondre à un nombre son inverse on utilisera le trait médian du curseur.

Exemple:

 Ici aussi la règle à calcul ne donne que la suite des chiffres dans l'ordre. L'emplacement de la virgule doit ici aussi être déterminé par un calcul approché.

b) Multiplication et Division

L'échelle des inverses nous permet souvent de simplifier certaines opérations, nous évite certaines manipulations de la réglette mobile. Ceci est encore plus important que la détermination des inverses. Pour le montrer nous allons d'abord voir qu'une multiplication de la forme a · b = c et qu'une division du genre a/b = c peuvent aussi être présentées autrement.

Exemple:
    a · b = a · b /1  = a : 1/b = a / (1/b)
    4 · 5 = 4 · 5/1 = 4 : 1/5 = 1/ (1/5)

Multiplier un nombre a par b revient donc à diviser a par l'inverse de b c.-à-d. par 1/b.

autre Exemple:
    a: b = a / b = a · (1/b)
    20:4 =  20 /4 =20 · (1/4) = 20 · 0,25=5

Dans ce cas diviser un nombre a par b revient donc à multiplier a par l'inverse de b c.-à-d. par 1/ b.

Tout ceci peut paraître bien compliqué au premier abord. Mais nous allons voir maintenant que cela nous permet de simplifier certaines opérations. C'est ainsi que les multiplications qui s'effectuaient en plaçant C 10 au-dessus du multiplicande (la réglette dépasse alors à gauche) se font plus simplement.

Exemple: 3 · 4 = 3 : (1/4) =  12

Méthode ordinaire: On place C 10 au-dessus de D 3. Lecture sous C 4 du résultat: D 12

Méthode avec les inverses: Nous plaçons au-dessus de D 3 la valeur CI 4. Nous avons ainsi disposé au-dessus de D 3 également C 1/4 ou C 2-5 qui est l'inverse de CI 4.

Effectivement le trait médian du curseur couvre D 3, CI 4 et C 2-5 = C 1/4. La disposition de la règle et de la réglette est celle de la division de 3 par 1/4 vu que C est placé au-dessus de D 3.

La valeur du produit se lira sous CI 10 ou C l. Dans notre cas c'est 1-2. En pratique pour multiplier a par b on place le nombre b choisi sur CI en face de a choisi sur D en s'aidant du curseur.

Dans notre cas plaçons CI 4 au-dessus de D 3. Résultat sous C 1 sur l'échelle D c.-à-d. 1-2.

Autre exemple: 60 : 8 = 60· (1/8) = 7,5

Méthode: Placer CI 10 ou C 1 au dessus de D 6. Placer le trait médian du curseur au-dessus de CI 8. Ce trait médian est placé au-dessus du nombre 7-5 de l'échelle D: c'est le quotient cherché. Dans certains cas on peut être amené à placer Cl 1 ou C 10 au- dessus du dividende.

Règle: Quand nous utilisons l'échelle D et CI les opérations sont inversées: Pour effectuer une multiplication nous disposons les échelles comme pour une division normale: multiplicande choisi sur D, multiplicateur choisi sur CI. Résultat sous C 1 ou C 10 sur D.

Pour effectuer une division nous disposons les échelles comme pour une multiplication normale: Dividende choisi sur D, diviseur choisi sur CI. Résultat à lire sur l'échelle D.

c) Multiplication de plusieurs facteurs

Pour effecteur les multiplications a · b · c... nous utiliserons l'échelle CI toujours dans les cas ou, pour continuer les multiplications successives, il faudrait normalement déplacer la réglette coulissante vers la gauche pour faire coïncider C 10 avec les produits partiels. Le recours à l'échelle des inverses CI permet d'éviter cette manipulation.

Exemple: 35 · 0,7 · 25 = 612,5

Méthode: Placer CI 7 en utilisant le trait médian du curseur au-dessus de D 35. Déplacer le curseur sur C 25. Résultat à lire sous C 25 sur l'échelle D c.-à-d. 6125.

d) Multiplications et divisions combinées (a · b · c ....)/ (d · e ....)

On commencera à effectuer la première division a : d, puis on multiplie par b etc. comme cela a été expliqué au chapitre 6. Chaque fois qu'un décalage de la réglette mobile s'avérerait nécessaire on aura recours à l'échelle des in verses CI.

C'est dans le cas d'opérations de ce genre que l'utilisation de l'échelle CI apporte une simplification certaine.

Gardons bien en mémoire la règle énoncée précédemment
    multiplication -> division avec l'échelle des inverses
    division -> multiplication avec l'échelle des inverses

Effectuons quelques exercices. Nous calculerons alors rapidement et sans fautes.

Au verso de la règle à calculer nous rencontrons les échelles CF et DF. Leur base et le mode de division sont les mêmes que pour les échelles ordinaires C et D. Le décalage de CF et DF par rapport à C et D a été obtenu en appliquant le facteur p#. C'est pour cette raison que les échelles CF et DF ne commencent que par 3; le 1 est situé approximativement au milieu de l'échelle. Quand on fait coïncider C 1 et D 1 on remarquera que DF p# et CF p# correspondent avec C 1 et D 1. Au moyen du trait médian du curseur on peut faire correspondre à un nombre a des échelles C ou D un nombre b des échelles CF ou DF (a et b étant situés sous le trait médian du curseur).

    On aura la relation    b = a p#
    On peut aussi dire que b / a = p#

Nous verrons plus tard une application de cette propriété. L'utilisation des échelles décalées présente encore d'autres avantages. Entre autre, dans une multiplication ordinaire, elle nous évitera aussi le décalage fréquent de la réglette mobile vers la gauche ou la droite. Il est en outre possible de réaliser une série de rapports égaux couvrant l'intervalle de 1 à 10 ce qui n'est pas possible avec les échelles C et D. La figure 21 nous montre le décalage réalisé. On a prolongé l'échelle de base C et D au-delà de 10. La portion comprise entre le de gauche et le de droite a été décalée vers le haut et vers la gauche non pas d'une manière quel conque, mais en utilisant le facteur p#.

On utilisera les échelles CF et DF en appliquant les règles qui sont déjà valables pour les échelles C et D. Il résulte de ce décalage un avantage certain. Pour effectuer une multiplication on peut poser par exemple le 1^er facteur sur l'échelle D et lire la valeur du produit soit sur l'échelle D, soit sur l'échelle DF.

Exemple: 2 · 4 = 8
Placer C 1 au-dessus de D 2. CF 1 correspond alors à DF 2. Le produit se lira soit sous C 4 sur l'échelle D: (nous lisons 8) ou bien au-dessus de CF 4 sur l'échelle DF ou nous trouvons le nombre 8 également.

Autre exemple: 2 · 6 = 12
Placer C 1 au-dessus de D 2. Le produit ne peut plus se lire sous C 6. Il faudrait normalement d'après ce que nous avons appris placer maintenant C 10 au-dessus de D 2. C'est inutile si nous utilisons les échelles CF et DF. En effet c'est au-dessus de CF 6 maintenant que nous lisons sur l'échelle DF le produit 12.

Remarque importante: CF correspond à l'échelle C. On peut aussi dire que CF prolonge l'échelle C. De même DF est la continuation de l'échelle D. C'est pour faire ressortir cela que les échelles D et DF sont de couleur blanche et les échelles C et CF de couleur verte. C'est ainsi que dans l'exemple précédent 2 · 4 = 8 le facteur 4 peut être repéré soit sur l'échelle C (verte) soit sur l'échelle CF (verte) pour trouver le même produit 8 qui sera repéré soit sur D (blanc), soit sur DF (blanc).

En conclusion: nous pouvons souvent effectuer des multiplications ou des divisions sans être obligés de décaler la réglette mobile.

Exemple: 3 · 7,5 = 22,5

Méthode: Placer C 1 au-dessus de D 3. Lecture impossible sous C 7-5. Pour éviter le décalage de la réglette à gauche (C 10 au-dessus de D 3) on aura recours à l'échelle CF et on lira au-dessus de CF 7-5 le résultat 2-2-5 sur l'échelle DF.

Néanmoins tous les cas de multiplication ne peuvent pas être effectués en utilisant l'échelle décalée CF et DF. En effet dans le cas où chacun de deux facteurs est supérieur à 6 nous ne pouvons plus lire le résultat sur DF. Il est alors indiqué d'utiliser l'échelle des inverses CI (Paragraphe 8) et de remplacer la multiplication par une division au moyen de l'inverse du facteur considéré.

Les échelles décalées CF et DF sont surtout d'un grand intérêt lorsqu'on veut former des rapports égaux. Si la valeur du rapport est donnée, on déplace la réglette mobile de façon à former ce rapport sur la règle. S'il est de 2/3 par exemple on dispose C 2 au dessus de D 3. Dans ce cas si on divise un nombre quelconque de C par le nombre correspondant de D (nombre placé immédiatement en-dessous) ou si on divise un nombre de CF par le nombre correspondant de DF placé au-dessus, on obtient toujours le même quotient.

Par définition ces rapports sont alors égaux.

Exemple: Réduction des longueurs dans un dessin dans le rapport 1 : 2,5.

Méthode: Placer C 1 au-dessus de D 2-5. Nous pouvons alors trouver sur D et DF (couleur blanche) les dimensions en grandeur naturelle et sur C et CF (couleur verte) ces mêmes dimensions réduites dans le rapport 1 : 2,5. Pour repérer facilement les couples de valeur on a intérêt à se servir du curseur.

Désignons toujours par l'expression «valeurs correspondantes» ou «nombres correspondant» les nombres placés sous le trait médian du curseur. En raison du décalage (en appliquant le facteur p# ) il résulte que le rapport des valeurs correspondantes de DF et de D ou de CF et de C est de p#.

Soit x une valeur de D.
Soit y la valeur correspondante de DF
    on a y = p# · x.

Il en est de même pour les échelles C et CF.
    En passant de C à CF ou de D à DF on multiplie par p#.
    En passant de CF à C ou de DF à D on divise par p#.

Dans le cas où un produit de facteurs renferme le facteur p#, on peut effectuer cette multiplication en passant de l'échelle C à CF ou de D à DF en prenant la valeur correspondante placée sur le même trait médian du curseur qui sert a faire le transposition.

Exemple: Détermination de l'aire d'une ellipse.
   S= a · b · p#
Application a = 1,64    b = 4,25
   S = 1,64 · 4,25 · 3,14 = 21,9 cm²

Le calcul ou la détermination des pourcentages (%) est une opération très fréquente. L'utilisation des échelles décalées est ici particulièrement indiquée du fait que le nombre 1 est disposé à peu prés au milieu de l'échelle CF ou DF. Il est ainsi très facile d'appliquer une hausse ou une baisse d'un pourcentage donné à un nombre et de déterminer le nouveau nombre qui se déduit du premier après application de la hausse ou de la baisse.

Exemple: La tension nominale aux bornes d'une prise de courant est de 220Vavec une tolérance de ± 5%. Déterminer la tension minimale et maximale admissible.
    Résultat 209 V minimum et 231 V maximum

Autre exemple: Prix brut d'une marchandise 52 F. Quel est le prix net après avoir accordé une remise de 30% sur le prix brut?
    Réponse 36 F40

Nous nous limitons à donner 2 exemples. Il y a beaucoup d'autres applications possibles.

Les nouveaux modèles Beta - Gamma et Delta comportent en plus de l'échelle CI qui est l'inverse de C une nouvelle échelle CIF. L'échelle CIF comporte les inverses de l'échelle CF. On utilisera cette échelle CIF en liaison avec CF de la même façon qu'on utilise CI en liaison avec C.

Extraction de la racine carrée

Les échelles A de la règle et B de la réglette mobile sont identiques. Au lieu d'avoir une base de 25 cm comme les échelles C et D elles n'ont qu'une base de 12,5 cm. Cette base étant la moitié de l'autre, il a été possible de graduer les échelles A et B de 1 à 100. Il est possible, comme nous l'avons mentionné déjà plusieurs fois, d'effectuer tous les calculs avec les échelles A et B.

Avantages: Le décalage de la réglette mobile est inutile.

Inconvénients: Précision de lecture moins grande. Erreur relative plus élevée.

Ces échelles A et B sont destinées surtout à permettre l'élévation au carré d'un nombre ou permettre d'en extraire la racine carrée. Faisons coïncider A 1 et B 1. C 1 coïncidera alors avec D 1 si la règle est en bon état. Un choc brutal peut pour les modèles Beta, Gamma et Delta détruire cette coïncidence. Dans ce cas consulter le chapitre: Divers, entretien.

Nous pouvons faire correspondre au moyen du trait médian du curseur à tout nombre x de C ou D un nombre y de A ou B. Ce nombre y sera le carré de x c.-à-d. y = x²

Inversement, choisissons un nombre y sur A ou B. Le nombre x de C ou D qui lui correspond sera la racine carrée de c.-à-d. x = Öy.

Pour réaliser cette correspondance des échelles A ou B avec C ou D utilisez toujours le curseur bien que les repères C 1 et B 1 de la réglette coulissante puissent servir aussi.

Exemples:
2² = 4                            Ö2  = 1,41
50² =2500                     Ö10 =3,16
8,06² = 65                     Ö39 = 6,24

Quand on extrait la racine carrée d'un nombre on ne peut pas le repérer n'importe où sur l'échelle A ou B. Ces échelles comportent l'intervalle de 1 à 10 et de 10 à 100.

Comme il est assez compliqué de retenir ce tableau on se souviendra du procédé suivant:

Décomposer le nombre sous le radical en tranches de 2 chiffres en commençant par la virgule.
Exemples: Ö20'35, Ö1'83, Ö0,'03'45, Ö0,'45'64

Si la 1ère tranche qui est la tranche soulignée ne comporte qu'un chiffre on reportera le nombre correspondant dans l'intervalle de 1 à 10. C'est le cas pour Ö183 et Ö0,0345.

Si la 1ère tranche comporte 2 chiffres on reportera le nombre correspondant dans l'intervalle allant de 10 à 100. C'est le cas pour Ö2035 et Ö0,4564.

Rappelons en outre les règles suivantes:
1° Le nombre sous le radical est supérieur ou égal à 1 :
    La Racine carrée comporte autant de chiffres significatifs avant la virgule, que le nombre sous le radical comporte de tranches avant la virgule.
Exemples:
   Ö37'91' = 61,              2 tranches
    Ö46,'24 = 6,8             1 tranche
    Ö1,'44 = 1,2               1 tranche
    Ö79'21'00,' = 890     3 tranches

2° Le nombre sous le radical est inférieur à 1 mais supérieur à zéro:
    La racine carré comporte autant de chiffres significatifs après la virgule que le nombre sous le radical comporte de tranches après la virgule.
    Une tranche de la forme 00 se traduit par un O dans le résultat.
Exemples:
    Ö0,04' = 0,2                         1 tranche
    Ö0,'00'96'04' = 0,098          3 tranches
    Ö0,00'16' = 0,04                  2 tranches
    Ö0,36' = 0,6                         1 tranche

L'échelle des cubes K comporte une base qui n'est que le tiers de la base C ou D.

Elle est de 25/3 cm. Faisons coïncider C 1 avec D 1. Faisons correspondre au moyen du trait médian du curseur un nombre x de C ou D avec un nombre y de l'échelle K. Ce nombre y sera le cube de x c'est-à-dire y = x³.

Inversement à tout nombre x de K correspond un autre nombre y de C et D. Ce nombre y sera la racine cubique de x c.-à-d. ³Öx

Exemples:
    1,64³ = 4,4                                  ³Ö8 = 2
    4³ =64                                         ³Ö18 = 2,62
    0,074³ =0,000405=405·10^{-4        3}Ö1800=12,17

L'échelle des cubes K comporte 3 intervalles:
    de 1 à 10
    de 10 à 100
    de 100 à 1000

Avant de repérer un nombre dans l'échelle des cubes K on le divise en tranches de 3 chiffres en partant de la virgule.

Règle

On peut également procéder autrement en écrivant le nombre sous le radical au moyen de puissances de 10.

Exemples:

³Ö0,0112' = ³Ö(11,2/1000) = ³Ö(11,2/10³) = ³Ö11,2 · 10^-3 = ³Ö11,2  · ³Ö 10^-3 = ³Ö11,2 · 10^-1 =2,24/10 = =0,224.

Logarithmes décimaux ou Logarithmes de Briggs
    Base = 10

Etudions la relation qui existe entre les échelles L et D. Nous pouvons de nouveau faire correspondre à chaque nombre de D un nombre de L au moyen du trait médian du curseur. L'échelle L comporte les «Mantisses» des nombres représentés sur l'échelle D. La «Caractéristique» qui doit accompagner la mantisse est à déterminer par les procédés habituels. La table représentée ci-après nous rappelle comment déterminer les caractéristiques.

L'échelle des mantisses est divisée linéairement contrairement aux autres échelles. On peut déterminer facilement 3 chiffres significatifs. L'échelle L correspond donc à une table de logarithmes à 3 décimales. C'est largement suffisant pour la plupart des applications.

Exemples:

Méthode:
Repérer le nombre sur l'échelle D au moyen du trait médian du curseur. Lire sur l'échelle L la mantisse se trouvant sous le trait du curseur. Ajouter à la mantisse la caractéristique pour obtenir le logarithme du nombre considéré.

Les exemples suivants nous montrent comment on calcule au moyen des logarithmes. Cela nous permettra de comprendre le fonctionnement de la règle à calculer qui travaille non pas avec les nombres mais avec les logarithmes des nombres gravés sur les échelles.

Exemples:
312 · 0,0025 = 7,8
    log 312 + log 0,0025 = 2,494 + 0,398 - 2 = 0,892 qui est la mantisse correspondant au nombre 7,8. La caractéristique est 0

7,28:150 = 0,0485
    log 7,28- log 150 = 0,862 - 2,176 = - 1,314 = 0,686 - 2

16⁴ = 65500
    4 log 16 = 4· 1,204 = 4,816    Mantisse 0,816,   Nombre Caractéristique 4,  65500

³Ö2=1,189  » 1,19
    log 2: 4 = 0,301 : 4 = 0,0752 » 0,075