B. Rapports Trigonométriques. Angles
1° Les échelles trigonométriques
2° Echelles de sinus S
3° La relation a/sin a = b/sin b = c/sin g application
4° Echelles des tangentes et cotangentes T1 et T2
5° Arcs-Radians-Petits angles
5°1 La marque r
5°2 Degrés - Radians

1. Les échelles trigonométriques

L'envers de la règle à calculer comporte 4 échelles permettant de déterminer les rapports trigonométriques. Nous distinguons en haut les échelles T 1 et T 2 donnant les tangentes puis en bas échelle des sinus et l'échelle ST qui nous permet de transformer la mesure d'un arc exprimée en degrés (et comprise entre 0,55° et 6°) en radians et inversement. Les paragraphes suivants nous montreront comment nous servir de ces échelles.

Les nombres inscrits sur les échelles T 1, T 2, S, ST sont des degrés (1 angle droit = 90°).

Remarque importante: L'intervalle entre 2 valeurs consécutives de degrés n'est pas divisé sexagésimalement en minutes et secondes. Il est par contre divisé décimalement car actuellement on n'utilise plus que cette division dans la pratique. Si un angle est exprimé en degrés, minutes et secondes, il faut convertir les minutes et secondes en dixièmes ou centièmes de degrés.

Exemple: 2°30' = 2,5°

La précision des échelles trigonométriques correspond à celle d'une table des lignes trigonométriques de 3 ou 4 décimales. Dans la pratique on a rarement besoin d'une précision plus grande. Dans ces cas on pourra se servir de tables à 5 ou 6 décimales.

Les échelles ne comportent que des angles dont la valeur est comprise entre 0 et 90°. Les rapports trigonométriques des angles supérieurs à 90° seront déterminés en utilisant les règles classiques sur les arcs associés.

Exemple:
    sin 150° = sin (l80° - 150°) = sin 30°
    cos l20° = -cos(180°-120°) = -cos60°

Les chiffres gravés sur les échelles A, B, C ou D pouvaient représenter plusieurs nombres. Ainsi 2 peut représenter 20, 2000, 0,02 etc... .

Par contre les nombres des échelles T 1, T 2, S, ST ont une valeur bien déterminée et ne peuvent pas servir pour représenter le dixième, centième, etc. .. . du nombre ou représenter 10,100.. . fois le nombre.

C'est ainsi que 30 représente bien 30° et non 3° ou 3000.

La figure 30 ci-après montre la relation qui existe entre les échelles T 1, T 2, S, ST et l'échelle de base D sur laquelle on lira les rapports trigonométriques des angles figurant sur les échelles T 1, T 2, S, ST. Sur la règle les échelles T 1 et T 2 sont disposées l'une sous l'autre. En réalité l'échelle T 1 devrait être placée à gauche de l'échelle T 2 comme l'indique la figure 30. Dans ce cas l'échelle de base D devrait aussi être prolongée vers la gauche. Pour éviter cela, on a préfère disposer T 1 au-dessus de T 2.

Un nombre gravé sur l'échelle D représente la tangente de l'angle reporté sur l'échelle T 2.

Exemple:
   tg 70° = 2,75

Pour faire la lecture nous plaçons le trait médian du curseur sur 70 de l'échelle T 2 (gravure en noir). Il correspond au nombre 2,75 de l'échelle D. C'est bien 2,75 et non 27,5 ou 0,0275.

En laissant le curseur dans cette position on remarquera que le trait médian est placé au-dessus du nombre 15,36° de l'échelle T 1. A cet angle correspond sur l'échelle D une tangente de 0,275 c.-à-d. le dixième de la valeur précédente. C'est pour cette raison qu'on a écrit.
    tan 0,1 x à droite de l'échelle T 1
    tan x à droite de l'échelle T 2
    et x à droite de l'échelle D

En pratique quand on utilise les échelles T 1 et D, les valeurs lues sur D sont à multiplier par 0,1 ou plus simplement à diviser par 10.

De même quand on utilise les échelles ST et D, les valeurs lues sur D sont à diviser par 100. En effet on a marqué à droite de l'échelle ST: arc 0,01 x.

Nota: l'abréviation <) tan figurant sur la règle correspond au symbole «tg» c.-à-d. tangente utilisé en France.

L'échelle S comprend les angles compris entre 5,5° et 90°. Pour déterminer le sinus d'un angle on se servira des nombres gravés en noir. Le rapport trigonométrique sinus (sin ) correspondant à l'angle sera lu sur l'échelle de base D. Le chiffre 1 à gauche de l'échelle D correspond réellement à 0,1 .

Le nombre 10 à droite de l'échelle D correspond réellement à 1. Les valeurs des sinus varient donc entre 0,1 et 1. Il faut donc diviser les nombres de l'échelle D par 10. C'est ce qui est aussi rappelé par l'indication sin 0,l x à droite de l'échelle S.

Pour déterminer le cosinus d'un angle on utilisera la relation
    cos a = sin (90° - a)

c.-à-d.: le cosinus d'un angle est égal au sinus de son complément. Pour trouver le cosinus d'un angle nous repérons l'angle sur l'échelle S mais en utilisant les nombres rouges. L'échelle croît alors de 0° à 90° en allant de droite à gauche. On remarquera que les nombres rouges sont les compléments des nombres noirs. Pour une position donnée du curseur on peut donc lire le sinus d'un angle a ainsi que le cosinus de son complément 90° - sur l'échelle D.

Exemples:
   a) sin 30° = 0,5 = cos 60°
    b) sin 9°=0,1546=cos 8l°
    c) cos 70° = 0,342 = sin 20°
    d) cos 41° = 0.755 = sin 49°

Méthode: Placer le trait médian du curseur au-dessus d'un nombre noir de l'échelle s'il s'agit de déterminer le sinus ou au-dessus d'un nombre rouge s'il s'agit de déterminer le cosinus d'un angle. La valeur du sinus ou du cosinus sera lue sur l'échelle D (Diviser les nombres lus sur D par 10.) Si par contre on donne le sinus ou le cosinus d'un angle et qu'on doit déterminer la valeur de l'angle, on part de l'échelle D et on fait la lecture sur l'échelle S.

3. La relation a / sin  a = b/ sin b = c/ sin g - Applications

En géométrie plane on peut calculer très simplement les angles et les côtés d'un triangle quelconque en utilisant la relation
a / sin  a = b/ sin b = c/ sin g

Nous rencontrons dans cette formule une suite de rapports égaux et nous avons déjà vu au paragraphe 7 que l'on pouvait, pour une position bien déterminée de la réglette mobile, faire correspondre à toute valeur a, b, c des numérateurs de la formule précédente une valeur sin a, sin b, sin g des dénominateurs de façon à ce que les rapports soient égaux.

La valeur des côtés a, b, c sera lue sur l'échelle C. La valeur en degrés des angles opposés à ces côtés sera lue en face sur l'échelle S. La ligne de séparation entre la réglette mobile verte et le corps blanc de la règle forme pour ainsi dire le trait de fraction qui se trouve entre le numérateur et le dénominateur.

Pour effectuer les calculs il faut connaître dans le cas d'un triangle quelconque un côté et l'angle opposé à ce côté pour pouvoir former le rapport côté/ sin angle.

Si on donne ensuite la valeur d'un autre côté on peut calculer la valeur de l'angle opposé qui lui correspond. Inversement, si on donne la valeur de l'angle, on peut trouver le côté. Comme on sait que la somme des 3 angles d'un triangle est de 180° on peut au moyen de cette relation trouver le 3^e angle connaissant les 2 autres. Le 3^e angle étant ainsi déterminé, on peut trouver la valeur du côté qui lui est opposé.

En pratique on déplacera la réglette mobile de façon à placer face à face (sous le trait médian noir du curseur mobile) la valeur d'un côté, a par exemple, repéré sur l'échelle C et la valeur de l'angle opposé à ce côté, a dans ce cas, repéré sur l'échelle S. Nous repérons ensuite sur l'échelle C la valeur des côtés b et c et nous trouverons en-dessous (utiliser le curseur mobile) la valeur b et g des angles opposés à ces côtés. Si inversement ce sont les angles qui sont donnés on les repère d'abord sur l'échelle S et on trouvera les côtés opposés correspondants au-dessus sur l'échelle C.

Cette formule est aussi utilisée très souvent pour la résolution des triangles rectangles. Soit g l'angle droit  g = 90°.

Dans ce cas sin g = sin 90° = 1
Comme a + b + g = 180°
on a a + b  = 180° - g  =180° - 90° = 90°
donc a =90° - b ou = 90° - a

On aura alors
    sin a = sin (90° - b ) = cos b
    sin  b =sin (90° - a ) = cos a

La formule a / sin  a = b/ sin b = c/ sin g peut alors s'écrire
    a / sin  a = b/ sin b = (c/1) ou     a / cos  a = b/ cos b = (c/1)

Chaque formule contient 5 inconnues: a, a, b, b, c

Il suffit d'en connaître 2 quelconques pour pouvoir trouver les 3 autres en utilisant les 2 formules données ci-dessus comme va nous le montrer l'exemple ci-après.

Exemple:
    Hypothèse: Soit un triangle rectangle en g dans lequel b = 15,5 cm et a = 70°
    Trouver a, c, b
Réponse:
    a = 42,6 cm
   c = 45,3 cm
    b =90° - a =90° - 70 = 20°

Méthode:
On calcule d'abord la valeur de d'angle b. On sait que a + b = 90°.
Donc b =90°- a = 90°-70°=20°
Nous repérons b = 20° sur l'échelle S. Nous plaçons le trait médian du curseur sur b = 20° et déplaçons ensuite la réglette mobile afin d'amener b = 1-5-5 de l'échelle C en dessous du trait médian du curseur. Le rapport b / sin b est ainsi formé. Nous lirons ensuite au-dessus de = 70° la valeur de a c.-à-d. 4-2-6 puis au-dessus de g = 90° la valeur de c : 4-5-3.
La position de la virgule sera déterminée par le procédé habituel.

Si on donne par contre la valeur de 2 côtés a et b par exemple, on forme d'abord le rapport a / b = tg a. Le chapitre B 4 montrera comment trouver a, connaissant tg a. A défaut on se servira d'une table des tangentes a. étant alors connu on forme le rapport a / sin a et on procédera comme dans l'exemple précédent.

Dans le paragraphe B 4 nous avons montré comment on pouvait au moyen des échelles S et D déterminer le sinus d'un angle. On est parfois obligé dans des problèmes de physique de multiplier ou de diviser par le sinus ou le cosinus d'un angle. La règle à calculer permet d'effectuer ces opérations sans qu'il soit nécessaire de déterminer d'abord le sinus ou cosinus de cet angle.

Exemple:
Dans un circuit parcouru par un courant alternatif de tension U, d'intensité I et présentant un déphasage f#, la puissance se calcule au moyen de la formule.
    P = U · I · cos f#
    U = 220 Volts
    I = 2,6 Ampères
    f# = 30°
    P = 220 · 2,6 · cos 30° = 495 Watts

Méthode: Les flèches rouges indiquent les opérations è effectuer. Partir de f# = 30° (cosinus rouge) cou 60° (sinus noir) car cos 30° = sin 60°. La valeur de cos 30° = 0,866 lue sur l'échelle D n'a pas besoin d'être notée, mais sera multipliée d'abord par 2-2 et ensuite par 2-6. On ne retiendra que le résultat final 4-9-5.

Les échelles trigonométriques T1 et T2 servent en liaison avec l'échelle de base D, à déterminer les rapports trigonométriques tg a et cotg a d'un angle donné a. Les échelles T1 et T2 sont graduées directement en degrés. L'échelle T1 va de 5,5° à 45° et l'échelle T2 de 45° à 84,5°. Pour trouver la tangente d'un angle, a on repérera l'angle a sur l'une des échelles T1 ou T2 en se servant des nombres gravés en noir. En utilisant le trait médian du curseur on trouvera alors en face, sur l'échelle D, le rapport tg a correspondant à l'angle a. L'échelle T1 porte à sa droite l'indication <) tg 0,1 x qui nous signale que les valeurs lues sur l'échelle D doivent être divisées par 10. Cette échelle D va donc de 0,1 à 1. Ces valeurs sont les tangentes des angles choisis sur l'échelle T1, angles allant de 5,5° à 45°.

Quand on repère les angles sur l'échelle T2 allant de 45° à 84,5° l'échelle D nous donne directement sans division la tangente de ces angles. D est donc dans ce cas gradué de 1 à 10.

Si nous faisons coïncider C 1 de la réglette mobile avec D 1 du corps de la règle en faisant ainsi coïncider les échelles C et D nous pouvons lire sur l'échelle Cl la cotangente de l'angle a dont l'échelle D nous donnait déjà la tangente. Cela résulte de la relation cotg  a = 1 / tg a

La cotangente d'un angle peut aussi être déterminée en cherchant la tangente du complément.

En effet cotg a = tg (90- a )

En utilisant les nombres gravés en rouge sur les échelles T1 et T2 on peut lire sur D la cotangente. Ces nombres rouges sont les compléments des nombres noirs.

Schéma d'utilisation des Echelles:

On voit que si les Echelles ont même couleur on trouve les tangentes et que si les Echelles ont des couleurs différentes on trouve les cotangentes.

Sur la règle les échelles T1 et T2 sont placées l'une sous l'autre. Elles devraient en réalité être placées l'une derrière l'autre: T1 à gauche T2 à droite comme le montre la figure 34. Mais dans ce cas il aurait fallu avoir une règle de longueur double. L'échelle D, de longueur double, aurait alors permis d'avoir une graduation allant de 0,1 à 10 en passant par 1 placé au milieu. Le fait de disposer T1 au-dessus de T2 a permis d'utiliser une règle de longueur normale.

5. Arcs-Radians-Petits angles

Un arc de cercle peut être en général mesuré de 2 façons .
1° La mesure d'un arc de cercle est la même que celle de l'angle au centre qui intercepte cet arc. Arc et angle au centre sont donc mesurés par le même nombre de degrés.


2° La mesure d'un arc peut aussi être exprimée en radians.
On trouve la valeur en radians en divisant la longueur de l'arc AB (exprimée en cm par exemple) par le rayon OB du cercle (mesuré aussi en cm)
donc dans la figure précédente AB_rad = 1 / r

A chaque angle donné (exprimé en degrés) correspond donc aussi un arc bien défini exprimé en radians.

A un angle au centre de 90° correspond un arc de p / 2 radians.

Dans le cas où le rayon du cercle est égal à l'unité 1 (cercle trigonométrique) la mesure de l'arc en radians est égale à sa longueur (mesuré avec la même unité). Les rapports trigonométriques des petits angles peuvent être déterminés au moyen de l'échelle T d'après la relation
    sin a »  rad a » tg a

L'erreur introduite par cette approximation est inférieure à l'erreur qui provient de la règle, dans le cas où l'angle reste inférieur à 6°. La figure 36 qui représente le cercle trigonométrique nous montre que la différence entre sin a, a  et tg a diminue avec l'angle.

L'échelle ST est graduée en degrés: elle va de 0,55° à 6°.
Les rapports sin a ou a ou tg a correspondant à ces petits angles seront lus sur l'échelle D (en s'aidant comme toujours du curseur).

Les valeurs lues sur D seront divisées par 100 (voir arc <) 0,01 x placé à droite de l'échelle ST).

L'échelle ST présente la particularité suivante (que n'ont pas les échelles T 1, T 2, ou S). Elle permet de déterminer le rapport sin a, a ou tg a pour des angles valant la dixième, la centième etc.... partie de la valeur en degrés gravée sur l'échelle ST. L'emplacement de la virgule dans les nombres lus sur l'échelle D sera déterminée dans ces cas à l'aide du tableau ci-après.

 Cette relation sin a » a » tg a valable pour les angles inférieurs à 6°, permet aussi de trouver le cosinus et la cotangente d'angles supérieurs à 84,5°.

Exemples:
    sin a = cos (90 - a) » a » tg a »  cotg (90 - a)
    cos a =sin (90- a)
    cot  a =tg (90- a)
    cos 88° = sin 2° = 0,0349
    cot 89,75° = tg 0,25° = 0,00436

Méthode:

Repérer l'angle a sur l'échelle ST et lire en face sur l'échelle D les valeurs de sin a ou de tg a correspondantes. Le résultat trouvé est en même temps la valeur en radians de l'arc intercepté par cet angle a.

S'il s'agit de trouver le cosinus ou la cotangente d'angles supérieurs à 84,5° on transforme en sinus et en tangente.

Quand il s'agit de trouver la cotangente d'angles inférieurs à 6°, l'échelle Cl permet de trouver cette valeur car cotg a = 1/ tg a

Pour des angles compris entre 0,55° et 6° la cotangente est comprise entre 100 et 10.

Pour des angles compris entre 0,055° et 0,6° la cotangente est comprise entre 1000 et 100 etc.. ..

5.1 La marque r

La valeur en radians d'un petit angle peut aussi être déterminée au moyen de la marque r qui se trouve sur les échelles C et D entre 1-7-4 et 1-7-5. Quand on a de nombreux calculs à effectuer nous recommandons cette deuxième méthode.

On a posé r = p / 180° =  0,01745

Puisqu'un angle de 180° correspond à un arc de radians on trouvera la valeur en radians d'un arc intercepté en multipliant l'angle a par r.
    a radians =  a° ·  r =  a° · 0,01745

Méthode:
Placer C 1 au-dessus de r de D. Repérer les angles a (en degrés) sur l'échelle C et lire en face sur l'échelle D la valeur correspondante en radians.

5.2 Degrés - Radians

Nous avons vu qu'un arc peut se mesurer soit en radians soit en degrés. La transposition peut se faire au moyen de l'échelle ST ou de la marque r. On peut ainsi convertir des degrés en radians et inversement des radians en degrés.

En effet:
    180° -> p radians = 3,l4 rad
    360° -> 2 p radians = 6,28 rad

L'échelle ST n'est pas seulement valable pour les angles de 0,55° à 6° mais également pour des valeurs 10 ou 100 etc., . . . fois supérieures ou inférieures. Ceci n'est valable que dans le seul cas où cette échelle est utilisée pour la conversion degrés <--> radians.

Exemples:
    Un angle de 1° intercepte un arc de 0,01745 rad = r
    Un angle de 0,141° intercepte un arc de r · 0,141 = 0,00246 rad
    Un angle de 208° intercepte un arc de r ·208 = 3,63 rad

L'échelle ST est décalée par rapport à l'échelle D de r.

Placer Cl au-dessus de r de D. On remarque alors que les échelles C et ST coïncident exactement. Les nombres figurant sur C et représentant des degrés sont ainsi multipliés par r. Les valeurs lues en face sur l'échelle D représentent la valeur en radians de l'arc intercepté. On voit donc que la valeur en degrés peut pour cette position de la réglette mobile être repérée indistinctement sur C ou sur ST. La figure 38 montre comment procéder.