Au bas du recto (face avant) du corps de la règle se trouvent les échelles LL 2 et LL 3 gravées en noir. Les nombres reportés sur ces échelles vont de 1,1 jusqu'à 30.000. Ces échelles ont été établies en ne représentant non pas les logarithmes des nombres, mais les logarithmes des logarithmes de ces nombres: d'où l'appellation LL de ces échelles. En raison de cette particularité, les nombres figurant sur ces échelles ne représentent pas une simple suite de chiffres comme c'est le cas avec les échelles A, B, C, D, CI par exemple, mais représentent les valeurs réelles de ces nombres. C'est ainsi que 5 lu sur LL 3 représente bien 5 et non pas 50, 500, 0,05.

Les échelles LL servent
    au calcul de puissances de la forme y = a^x
    à l'extraction de racines de la forme a = ^xÖy
    à la recherche de logarithmes de la forme x = ^alog y

Les échelles LL seront utilisées en liaison avec les échelles C et D. A un nombre x repéré sur C ou D correspond une valeur lue sur les échelles LL. C'est pour cette raison qu'on a marqué et à droite des échelles LL.

Les échelles LL 2 et LL 3 placées bout à bout représentent une échelle d'environ 50 cm. Elle a été obtenue comme nous l'avons déjà indiqué en prenant encore une fois le logarithme des longueurs représentées sur l'échelle de base C ou D. Les valeurs inscrites représentent non pas le logarithme du logarithme du nombre considéré, mais sont les nombres mêmes. La figure 39 représente ces échelles et indique comment elles devraient être disposées normalement. La base est celle de l'échelle C ou D. Les échelles C et D auraient du être prolongées vers la gauche d'une longueur égale à la base. C'est ce que représentent les traits en pointillé dans la figure 39. Ici aussi on a préféré, (pour garder à règle une longueur commode), décomposer les échelles LL en 2 parties qu'on a alors disposées l'une sous l'autre.

Une marque a été gravée dans la règle pour repérer la valeur e = 2,718. Elle se trouve sous D 1, car ln e = 1 (logarithme naturel de e) et log (ln e) = 0.

La disposition des échelles est telle qu'on trouve au-dessus de chaque nombre repéré sur LL 2 sa dixième puissance sur l'échelle LL 3.

Si a est un nombre de LL 2 nous trouvons au-dessus sur LL₃ sa dixième puissance c. à. d.

Inversement si b est un nombre de LL 3 nous trouvons en-dessous la dixième racine de ce nombre c.-à-d. ¹⁰Öb

Mais il est rare qu'on ait à élever un nombre à la puissance 10 ou qu'on ait à extraire la 10ème racine d'un nombre. Ces exemples avaient pour but de montrer la relation existant entre les échelles LL 2 et LL 3.

La figure 40 nous donne quelques exemples.

Les derniers modèles de la règle «Delta» comportent en plus de LL 2 et LL 3 une nouvelle échelle LL 1. Le principe reste le même. L'échelle LL 1 permet d'effectuer en plus des calculs avec des nombres compris entre 1,0l et 1,11 ce qui représente un avantage appréciable. L'échelle LL 1 est utilisée en liaison avec l'échelle D de la même façon que le sont les échelles LL 2 et LL 3.

De plus quand on juxtapose au moyen du trait médian du curseur, un nombre de chacune des échelles LL 1, LL 2, LL 3:
    Le nombre de LL 2 sera la dixième racine du nombre figurant sur LL 3
    Le nombre de LL 1 sera la dixième racine du nombre figurant sur LL 2
`Le nombre de LL 1 sera la centième racine du nombre figurant sur LL 3

Inversement
    Si on élève un nombre de LL 1 à la puissance 10 on trouve le résultat sur LL 2
    Si on élève un nombre de LL 2 à la puissance 10 on trouve le résultat sur LL 3
    Si on élève un nombre de LL 1 à la puissance 100 on trouve le résultat sur LL 3

Pour élever un nombre au carré ou au cube on peut utiliser comme nous l'avons déjà indiqué:
    les échelles D et A ou C et B pour l'élévation au carré
    les échelles D et K pour l'élévation au cube

Ces mêmes opérations peuvent aussi être effectuées au moyen des échelles LL qui permettent en plus l'élévation d'un nombre à des puissances supérieures à 3.
De plus l'exposant n'a pas besoin d'être un nombre entier comme 2, 3, 4 etc. . . .

On peut donc effectuer des opérations de la forme etc. . . .3^4,5 - 2 ^3,2 - 10 ^14,3

Exemples:
    3⁴ = 81
    3^0,4 =1,552              a^x= y

Méthode:

Placer le trait médian du curseur au-dessus de la base 3 choisie sur l'échelle LL 3. On amène ensuite C 1 sous le trait du curseur de façon à juxtaposer 3 et C 1. Déplacer ensuite le curseur et amener son trait médian au-dessus de C 4, 4 étant l'exposant de la puissance. Le trait est alors situé au-dessus de 81 de l'échelle LL 3 et au-dessus de 1,552 de l'échelle LL 2, 81 est le résultat de l'opération 3⁴ tandis que 1,552 est la 10éme racine de 81: ¹⁰Ö81 = 1,552

On peut aussi écrire ¹⁰Ö81 = ¹⁰Ö3⁴ =3^0,4

Si nous essayons d'effectuer par la méthode indiquée ci-dessus l'opération 2⁸ nous ne pouvons pas lire le résultat sous C 8 car la réglette coulissante dépasse
à droite. Dans ce cas nous ne placerons pas C 1 au-dessus de 2 de LL 2 mais C 10. Nous avons déjà rencontré ce cas lors de la multiplication avec les échelles
C et D. Mais attention: dans ce cas le résultat sera lu sur l'échelle LL 3.

    Si on place C 1 au-dessus d'un nombre de LL 2 le résultat sera lu sur LL 2
    Si on place C 1 au-dessus d'un nombre de LL 3 le résultat sera lu sur LL 3
    Si on place C 10 au-dessus d'un nombre de LL 2 le résultat sera lu sur LL 3

On ne peut placer C 10 au-dessus d'un nombre de LL 3 car l'échelle LL 4 dont on devait disposer ne figure pas sur la règle.

Exemple:
    2⁸ = 256
    2^0,8 = 1.741

Méthode:
Juxtaposer, en utilisant le trait du curseur, C 10 avec 2 choisi sur LL 2. Le résultat sera lu sous C 8 sur LL 3, c-à-d. 256. Nous lisons en même temps sur LL2 1,741 qui est la 10éme racine de 256 ou encore En effet
    ¹⁰Ö256 = ¹⁰Ö2⁸ = (2⁸)^1/10 = 2^0,8

Les valeurs des puissances qu'on peut déterminer avec les échelles LL 2 et LL 3 sont comprises entre 1,1 au minimum et 30.000 au maximum. La détermination de
y dans des expressions de la forme y = a^x ou y = a^f(x) est donc très facile.

Exemple:
Soit la fonction y = 2^x Déterminer y lorsque x prend les valeurs
   0,14-1,4 - 14
    2^0,14 = 1,102
    2^1,4 = 2,64
    2¹⁴ = 16400

La lecture des valeurs sur l'échelle LL 3 devient un peu délicate après 20.000 car les graduations sont très resserrées. La règle ne donnera ici que 2 chiffres significatifs. Si on a besoin de plus de précision il faudra utiliser une table de logarithmes à plusieurs décimales (5 à 6).

On peut également déterminer la valeur des puissances à exposant négatif en utilisant la relation suivante: a^-x = 1/a^x

On déterminera d'abord a^x en lisant le résultat sur LL 2 ou LL 3. On reporte ensuite le résultat sur échelle C qui en combinaison avec CI donnera alors l'inverse de c.-à-d. 1 / a^x = a^-x

Nous venons de déterminer des puissances de la forme y = a^x. La base «a» peut être un nombre quelconque. Dans le cas particulier où a = e = 2,71828 nous aurons y= e^x=2,71828

e est la base des logarithmes naturels appelés encore logarithmes népériens.

Pour calculer les puissances de e il est inutile de placer C 1 au-dessus de e de LL 3. On utilisera l'échelle D pour lire les exposants car D 1 est déjà placé au- dessus de e. Pour éviter des erreurs toujours possibles il est conseillé de faire coïncider C 1 et D 1. Dans ce cas l'exposant x peut être repéré indistinctement sur C ou D.

L'échelle D en liaison avec l'échelle LL 3 permet de déterminer les puissances allant de e¹ à e¹⁰

L'échelle D en liaison avec l'échelle LL 2 permet de déterminer les puissances allant de e^0,1 à e^1,0

La figure 39 nous en donne l'explication.

Exemple:
   Calculer e^0,1 et e¹⁰
   Placer le trait médian du curseur sur D 2. Ce trait nous permet de lire sur LL 3: 7,4 c.-à-d. e².

Sur LL2 nous lisons toujours sous le même trait 1,2216 c.-à-d. e^0,2donc:
    e² = 2,71 828² = 7,4
    e^0,2 = 2,71828^0,2 = 1,2216

Les fonctions exponentielles y = e^x ont une grande importance en Physique. De nombreux phénomènes naturels comme l'échauffement et le refroidissement d'un corps, la charge et la décharge d'un circuit électrique, la transformation radio active, sont régis par ces fonctions.

Si on donne une expression du genre y = e^f(x)et si on nous demande de déterminer les valeurs de y correspondant à différentes valeurs de x, nous conseillons de calculer d'abord les valeurs  f(x₁),   f(x₂),  f(x₃) ... correspondant aux différentes valeurs x₁, x_2, x_{3 ...}   et de les juxtaposer dans un tableau de valeurs. C'est ensuite seulement qu'on déterminera e^f(x) en déplaçant simplement le curseur de la règle.

Pour extraire une racine au moyen de la règle à calculer il suffit de faire une opération qui est l'inverse de celle que nous avons faite pour élever un nombre à une puissance. En effet pour élever un nombre à une puissance nous avons opéré comme si nous avions à effectuer une multiplication avec les échelles de base. Nous avons placé bout à bout pour les ajouter des segments pris sur les échelles D et LL 2 ou LL 3. Pour extraire la racine il suffit de retrancher les segments.

Exemple:
    ³Ö64 = 4
    ³⁰Ö64=1,1488

Méthode:
Disposer l'un au-dessus de l'autre, en utilisant le curseur, l'indice x   (indiquant le degré de la racine) repéré sur l'échelle C et le nombre y placé sous le radical qui est repéré sur LL2 ou LL3. Le résultat c.-à-d. la racine sera lue en-dehors de C i ou C 10 sur LL 2 ou LL 3,

Chaque racine peut être transformée en une puissance d'après la relation
    ^xÖy = y^1/x

Ainsi  ³Ö64 =64^1/3  =64^{0,3333 ..} = 4
d'où aussi  ^1/3Ö4 = 64

Au lieu de déterminer la 3^e racine de 64 (racine cubique) par le procédé indiqué plus haut on peut ainsi calculer 64^1/3 c.-à-d. élever 64 à la puissance 1/3.

Méthode:
Placer C 10 au-dessus de LL₃ 64. Lire sous CI 3 correspondant à C 1/3 = C 0,333,,. le résultat 4 sur l'échelle LL 3.

Remarque:
Il est conseillé d'utiliser l'échelle CI pour éviter d'avoir à repérer des fractions 1/x sur l'échelle C. Il suffit de repérer x sur Cl ce qui est plus simple.

On peut aussi effectuer des opérations de la forme a = xÖy^m

On a ^xÖy^m  = y^m/x   = y ^m:m/x:m = y^1/(x:m)   = y^(1/x)/m

La fraction x/m sera transformée en divisant le numérateur x et le dénominateur m par m.

On opère alors comme ci-dessus en calculant la valeur de x/m et en repérant le quotient sur l'échelle CI.

Exemple:
⁶Ö64³ = 64^3/6  = 64^3:3/6:3   = 64^1/2 =8.
⁵Ö8² = 8^3/5  = 8^3:3/6:3   = 8^1/1,666

Les échelles LL permettent de déterminer aussi des logarithmes de base quel conque. En effet on a la relation
    y = a^x <===> x = ^a log y (on écrit aussi log _a y)

Il s'agit donc de déterminer l'exposant x qui est aussi le logarithme de y.

Exemple:
        ³log 81 = log ₃ 81 = 4 <===> 3⁴ = 81
Lire:
le logarithme de 81 de base 3 est 4.

Méthode:
Il s'agit de trouver l'exposant x qui placé derriére la base 3 donnera 81, donc 3^x= 81.

Placer, en utilisant le curseur, C i au-dessus de LL₃ : 3. Déplacer le trait du curseur au-dessus de LL₃ : 81. Sous ce méme trait nous lisons sur C : 4 qui est le logarithme x recherché. Pour déterminer l'emplacement de la virgule dans les logarithmes il est utile de savoir que ^a log a = 1.

    Ainsi si le nombre y est supérieur à la base a on a x > 1
    Ainsi si le nombre y est inférieur à la base a on a x < 1

En résumé:

Dans la pratique on se sert presque exclusivement des logarithmes décimaux dont la base est 10. Dans ce cas a = 10.

Nous avons x = ¹⁰ log y  <+++> y = l0^x

Dans la pratique on écrira x = log y en laissant tomber l'indication de la base c.-à-d. 10. Donc s'il n'y a pas d'indication de base il s'agit toujours de 10.

La règle à calcul nous permet de déterminer les logarithmes de base 10 de 2 façons.

1°  On utilise les échelles D et L comme cela a été expliqué dans le paragraphe A₁₂ : Echelle des mantisses L.
2° On utilise les échelles LL 2 et LL 3 en liaison avec l'échelle C. Cette méthode présente par rapport à la 1^ère l'avantage de nous donner la mantisse et la caractéristique du logarithme. La 1^ère méthode ne nous donne que la mantisse du logarithme. La 2^e méthode présente par contre un inconvénient : le nombre de chiffres significatifs de la mantisse qu'on peut lire sur l'échelle C diminue quand on va vers la droite. Cette 2 méthode est surtout recommandée lorsque les nombres dont on doit déterminer le logarithme, sont compris entre 1,1 et 2,8. Ce sont les nombres de l'échelle LL 2. Lorsqu'un nombre est inférieur à 1 il est recommandée de chercher d'abord le' logarithme de l'inverse du nombre. Le logarithme cherché est alors l'opposé du logarithme de l'inverse.

Exemple:
Trouver le logarithme de 0,5

Méthode:
    Inverse de 0,5 = 1/0.5 = 2.
    Log 2 = 0,301
    d'où Log 0,5 = - Log 2 = - 0,301

Autre exemple:
    log 100 = 2
    log 1,585 = 0,2

Méthode:
Placer C 1 ou C 10 au-dessus de la base repérée sur LL 3 c.-à-d. 10. Faire coïncider le trait du curseur avec le nombre dont on cherche le logarithme, ce nombre étant choisi sur LL 3 (100) ou sur LL 2 (1,585). Le logarithme entier (mantisse + caractéristique) sera lu sur C en-dessous du trait du curseur. Faire attention à la position de la virgule.

C'est un logarithme de base e = 2,71828
On a ^e log x = 2,718.. log x = ln x.

Les logarithmes naturels ont, comme les fonctions exponentielles, une grande importance en Physique.

De même qu'on utilisait les échelles D et LL pour calculer la valeur de e^x, on utilisera ces mêmes échelles pour déterminer ln x.

En effet y = ln x <===> e^y =  x

D 1 étant d'office placé au-dessus de e de LL 3 il suffit de placer le trait du curseur sur le nombre x repéré sur les échelles LL 2 ou LL 3. Le logarithme naturel correspondant y sera lu sur D en-dessous du trait du curseur.

L'emplacement se détermine en tenant compte du tableau ci-après:
    Echelle LL 3: Nombres allant de 2,6 à 3.10⁴ : Log. naturel allant de 1 à 10
    Echelle LL 2: Nombres allant de 1,1 à 2,8 : Log. naturel allant de 0,1 à 1

Exemples:
   ln 30 = 3,4             ln 1,85 = 0,615
    ln 5 = 1,61             ln l,19=0,174

Pour éviter des erreurs de lecture il est recommandé d'amener C 1 en coïncidence avec D 1.

1. Le curseur - Utilisation de ses marques

Chaque face du curseur comporte tout d'abord le trait médian noir que nous avons déjà souvent utilisé. Ce trait couvre toute la largeur de la règle. Les traits médians de chaque face sont placés exactement vis-à-vis de même que les échelles D de chaque face. Un calcul commencé sur une des faces peut ainsi être achevé sur l'autre. Le trait médian sert surtout à mettre en relation les différentes échelles et à assurer la correspondance des valeurs. Cette utilisation a été expliquée en détail dans les différents paragraphes.

La face avant du curseur comporte encore des traits rouges.

    En bas et à droite il y a le trait rouge marqué d
    En haut et à droite il y a le trait rouge marqué PS
    En haut et à droite il y a le trait rouge marqué kp/m

Le trait rouge d (en bas à droite) sert, en liaison avec le trait noir marqué q, à déterminer l'aire q d'un cercle connaissant le diamètre d.

En effet q = d² · p / 4

On place le trait rouge marqué d au-dessus d'un nombre de l'échelle D, représentant le diamètre. L'aire sera lue sur l'échelle A en dessous du trait médian noir.

On peut également arriver au même résultat en utilisant le trait médian noir qu'on placera au-dessus de d lu sur l'échelle D. L'aire sera alors indiquée sur l'échelle A, par le trait rouge marqué kp/m. Il est situé en haut et à gauche du trait médian. Nous déconseillons néanmoins cette méthode.

Ce trait rouge marqué kplm est décalé du facteur 4/ p = 0,785 par rapport au trait médian.

Or il se trouve que 7,85 est la densité de l'acier fondu.
Cela va nous permettre de déterminer le poids exprimé en kilogramme-poids (kgp) d'une barre d'acier fondu de poids volumique 7,85 kgp/dm³ ayant une longueur de 1 mètre et ayant une section q mm² de et un diamètre de d mm. Il est bien entendu qu'il s'agit d'un «fer rond».

Pour repérer d sur l'échelle D on se servira exclusivement du trait rouge marqué d et placé en bas et à gauche du trait médian.

La section exprimée en mm² sera lue sur l'échelle A sous le trait médian noir. Le poids en kgp de 1 m de cette barre sera lu sur l'échelle A aussi, mais sous le trait rouge marqué kp/m et placé en haut et à gauche du trait médian noir.

Exemple:
    d = 6 mm Placer le trait rouge marqué d au-dessus de D 6
    q = 28,3 mm² à lire sur A sous le trait médian noir
Poids au mètre = 0,222 kgp à lire sur A sous le trait rouge marqué kp/m

Si on veut par la suite déterminer le poids d'une longueur quelconque (en mètres) de cette barre de section circulaire, il suffit de placer B 1 en-dessous du trait rouge marqué kp/m.

On multipliera ensuite par la longueur de la barre.

Exemple:
    poids de 3,6 m = 0,8 kgp.
    Placer B 1 comme indiqué ci-dessus. Lire le poids - 8 - sur l'échelle A au-dessus de B 3-6.

Un troisième trait rouge marqué PS (Ch en France) est placé en haut et à droite du trait noir. Il sert en liaison avec le trait médian noir à transformer des KW (Kilowatt) en Chevaux: Ch ou inversement des Ch en KW.

Nous avons la relation
    0,736 KW = 1 Ch
    1 KW= 1,36 Ch

Trait médian noir: KW (Kilowatt)
Trait rouge Ch: PS (Chevaux)

Si nous retournons la règle pour prendre la face portant les échelles décalées CF et DF, nous remarquons qu'il y a uniquement un trait rouge sur le curseur. Il est placé en haut et à droite. Si nous plaçons le trait médian noir sur un nombre de l'échelle D (ou C) nous trouvons sous le trait rouge sur l'échelle DF (ou CF) le produit par 3-6 (c.-à-d. 0,36 ou 3,6 ou 3600 etc. ..) du nombre primitif repéré sur D(ou C).

Inversement, à tout nombre de DF placé sous le trait rouge correspond sur D (sous le trait noir) son quotient par 3-6.

Nous pouvons ainsi faire des multiplications ou divisions par 3-6 en déplaçant simplement le curseur.

Cette multiplication ou division par 3-6 est utilisée lors des conversions sui vantes:

Il est rappelé (comme nous l'avions déjà indiqué au paragraphe 9 («Echelles de Base décalées CF et DF») que le trait noir du curseur permet également de multiplier ou de diviser par p = 3,14.

Ainsi à tout nombre pris sur D et placé sous le trait médian noir du curseur correspond sur DF le produit du nombre par p, la lecture se faisant toujours sous le trait noir. Si on lisait sous le trait rouge, on obtiendrait le produit par 3-6.

Pour diviser par p on procède en sens inverse.

La règle à calcul est un instrument de haute précision. Elle a été élaborée et fabriquée très soigneusement. Sa robustesse bien connue lui permet de résister à l'occasion à une manipulation un peu rude. Il est naturellement préférable de la traiter avec ménagement et de la remettre après usage dans l'étui qui assure une protection efficace. De grâce, ne la laissez pas sans étui au fond d'un sac d'école!!

Evitez surtout en ce qui concerne les modèles Beta-Gamma-Delta, des chocs violents en direction d'une diagonale de la règle. Vous risquez un décalage des 2 parties du corps. Dans ce cas jamais encore constaté dans la pratique, mais néanmoins toujours possible, n'essayez pas de redresser vous même, mais donnez la règle à votre vendeur qui la fera remettre en état à peu de frais.

Evitez le contact de votre règle avec l'encre des stylos à bille ou à feutre. Vous risquez des taches indélébiles. Au cas où cela arriverait, n'essayez surtout pas de détacher en utilisant un produit quelconque du commerce. Vous risqueriez de ramollir la matière plastique et de détruire la graduation. Dans ce cas aussi demandez conseil à votre vendeur.

N'approchez jamais votre règle d'une source de chaleur intense. Il ne faut pas qu'elle dépasse une température de 70°. La matière plastique de choix que nous avons utilisée résiste à toute déformation tant qu'elle ne dépasse pas cette température.

Pour nettoyer la règle, utilisez de l'eau tiède dans laquelle vous avez fait dissoudre quelques paillettes de savon. N'utilisez pas de produits détersifs trop forts. Après nettoyage il est conseillé de repolir la règle avec un chiffon doux en laine ou en lin. Prendre de préférence un chiffon propre afin qu'il soit débarrassé de toute particule abrasive risquant de rayer la règle.

Au cas où la réglette coulissante glisserait difficilement, introduire un peu d'huile de vaseline ou d'huile aux silicones entre la règle et la réglette mobile. Ces huiles sont en vente dans les pharmacies ou drogueries.

Remettez toujours votre règle après usage dans son étui et n'hésitez pas à remplacer celui-ci au cas où il serait détérioré après un long usage.

Ainsi traitée, votre règle, à la fabrication de laquelle la Maison NESTLER a apporté tout son soin, vous fera un très long usage et vous donnera entière satisfaction.

Albert Nestler 763 Lahr/Schwarzwald Germany